从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉(4)

我们将先看一个粒子，以便对我们必须考虑的多重性有一个立足点。然后，我们将转到一个多粒子系统。多重性表示在某些约束条件下可以更改系统的方式的数量。在理想气体的情况下，我们看的是，在给定压强，温度，粒子数量和体积的情况下，选择粒子位置和动量的方法的数量。

综上所述，我们有：

然后，我们设这两个表达式相等，并求解V_n。

把它放在一起，我们可以得到：

功、压力、温度、体积和粒子数的定义，以及（某种程度上）海森堡不确定性原理：

让我们考虑一些热力学变量，以及我们如何利用它们来帮助我们推导。

我们假设内能是恒定的。那么我们就有了熵、温度、压力和体积之间的有用关系：

位置

那压力的变化呢？

有很多方法可以求一个n维球体的表面积。在这个推导中，我不做直接积分，那样会比较麻烦。相反，我们将利用n维球体的属性：

接下来的部分听起来比实际情况更糟糕。如果我们看一下动量项，有一堆平方值加起来等于一个常数。两个平方值加在一起得到一个常数，是一个圆。三个平方值，是一个球体。但这里超过三个平方值，所以是一个超球体。为了找到动量的多重性，我们需要求一个n维的超球体的表面积。不过，不要被吓到。数学使我们能够让我们讨论看不见的事物。

学过物理和化学的人都知道理想气体定律：

如果我们把最后两个特点结合起来，我们最终会得到：

基本计数定理（我将在后面解释），斯特林近似法：

能量等分定理

由于常数是独立于系统的，我们将用N个粒子中的每一个的倍率除以h^3，剩下的就是：

在这一点上，我们有：

基本计数定理

记住，我们要求的是在给定的能量下，分配动量的可能方式的数量。如果我们把能量改为X焦耳，那么我们就在寻找分配动量的可能方式的数量，以便使总能量为X焦耳。出于这个原因，我们在这一部分的分析中认为能量是恒定的。

现在我们有了理想气体的多重性，我们可以用它来求熵：

如果我们让★为加法，f(x)=x，那么我们最终会在超球坐标中进行积分，这是我想避免的。除了让f(x)=x之外，我看不出有什么其他方法可以满足上述对f的限制，而★是加法，所以让我们试试其他方法。减法行不通，因为f(a+b)=f(b+a)，这意味着f(a)★f(b)=f(b)★f(a)。在数学术语中，★必须是可交换的。由于减法不是可交换的，所以我们不能用它。除法也是如此。乘法是我们剩下的唯一基本运算。在这种情况下，我们需要一些满足f(a+b)=f(a)f(b)的函数。

如果你想自己推导，可以找一个类似的积分，然后试着把原来的积分转换成更容易的积分。你可能想研究一下极坐标，因为dA=r dθ dr，你可以使用这个r，或者研究一下莱布尼兹规则/费曼积分下的微分。总之，如果我们将n个高斯积分相乘，我们可以用f(a)f(b)=f(a+b)，最后我们会得到：

尽管这看起来很奇怪，因为这个方程描述了一个球体的表面。可能的动量的数量与半径为2mU平方根的球体的表面积成正比。

这个比例关系很有用。你需要用长度来表示n维体积，体积应该随着半径的增加而增加。表面积和体积之间的关系也是有用的。想象一下，在一个球体上涂上数千层颜料。每一层都能在保持球的球形的同时增加球的体积。如果你不断添加图层，你会得到一个和地球一样大的球体。如果你想要一个2D的可视化示例，请看下面图像：

考虑一个活塞。

在第一种情况下，键能可以变化，我们有一个6N维的球体。在第二种情况下，键能是固定的，我们有一个5N维的球体。在任何一种情况下，我们都需要求超球体的表面积。由于没有其他项包含内能，你最终会得到：

中心课程往往将理想气体定律作为波义耳定律、查尔斯定律、盖-吕萨克定律和阿伏伽德罗定律的组合来教授。这些定律通过经验得到，在本文中我们将采取不同的方法。我将从统计力学、一些定律和一些定义中推导出理想气体定律。

什么是理想气体？

文章来源：《数理化学习》 网址: http://www.slhxxzz.cn/zonghexinwen/2022/0902/805.html